1.29

练习 1.29： 辛普森规则是另一种比上面所用规则更精确的数值积分方法。采用辛普森规则，函数f在范围a和b之间的定积分的近似值是：

$$\frac{h}{3}[y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+...+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n]$$

其中 h=(b-a)/n，n是某个偶数，而 $y_k=f(a+kh)$ （增大n能提高近似值的精度）。请定义一个具有参数f、a、b和n，采用辛普森规则计算并返回积分值的过程。用你的函数求出cube在0和1之间的积分（用n=100和n=1000），并将得到的值与上面用 integral 过程所得到的结果比较。

(define (cube x) (* x x x))
(cube 3)

(define (sum term a next b)
    (if (> a b)
        0
        (+ (term a) (sum term (next a) next b))))

(define (integral f a b dx)
    (define (add-dx x) (+ x dx))
    (* (sum f (+ a (/ dx 2.0)) add-dx b) dx)
)

(integral cube 0 1 0.001)

可见，增加 n 的确可以提高精度。但是同样的增加步长，辛普森规则的精度不如 $\int^{b}_{a} f = [f(a + \frac{dx}{2}) + f(a + dx + \frac{dx}{2}) + f(a + 2dx + \frac{dx}{2}) + ...]dx$ 方法的精度。