1.29

练习 1.29： 辛普森规则是另一种比上面所用规则更精确的数值积分方法。采用辛普森规则，函数f在范围a和b之间的定积分的近似值是：

$$\frac{h}{3}[y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+...+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n]$$

其中 h=(b-a)/n，n是某个偶数，而 $y_k=f(a+kh)$ （增大n能提高近似值的精度）。请定义一个具有参数f、a、b和n，采用辛普森规则计算并返回积分值的过程。用你的函数求出cube在0和1之间的积分（用n=100和n=1000），并将得到的值与上面用 integral 过程所得到的结果比较。

 
(define (cube x) (* x x x))
(cube 3)
​
(define (sum term a next b)
  (if (> a b)
      0
      (+ (term a) (sum term (next a) next b))))
​
(define (integral f a b dx)
  (define (add-dx x) (+ x dx))
  (* (sum f (+ a (/ dx 2.0)) add-dx b) dx)
  )
​
(integral cube 0 1 0.001)
​x
 
0.249999875000001

(define (cube x) (* x x x))

(define (sum-product term a next b next-product)

    (if (> a b)

        0

        (+ (* (next-product a) (term a)) (sum-product term (next a) next b next-product))))

(define (logreturn x) x)

(define (even x) (< (remainder x 2) 0.5))

(define (integral2 f a b n)

    (define (h a b n) (/ (- b a) n))

    (define (add-h x) (+ x (h a b n)))

    (define (next x)

        (cond ((= x a) (logreturn 1))

              ((= x b) (logreturn 1))

              ((even (/ (* n (- x a)) (- b a))) (logreturn 2))

              (else (logreturn 4)))

    )

    (* (/ (h a b n) 3) (sum-product f a add-h b next))

)

(integral2 cube 0 1 100)

(integral2 cube 0 1 1000)

可见，增加 n 的确可以提高精度。但是同样的增加步长，辛普森规则的精度不如 $\int^{b}_{a} f = [f(a + \frac{dx}{2}) + f(a + dx + \frac{dx}{2}) + f(a + 2dx + \frac{dx}{2}) + ...]dx$ 方法的精度。