1.38

练习 1.38 在1737年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发表了一篇论文 De Fractionibus Continuis，文中包含了e-2的一个连分式展开，其中的e是自然对数的底。在这一分式中，$N_i$ 全都是1，而$D_i$依次为1，2，1，1，4，1，1，6，1，1，8，……。请写出一个程序，其中使用你在练习1.37中所做的cont-frac过程，并能基于欧拉的展开式求出e的近似值。

(define (d i)
    (if (= 2 (mod i 3)) (* 2 (ceiling (/ i 3))) 1)
)
(d 1)

(d 2)

(d 3)

(d 4)

(d 5)

(d 6)

(d 7)

(d 8)

(d 9)

(d 10)

(d 11)

(define (cont-frac n d k)
    (define (g i k) 
        (if (= i k) (/ (n k) (d k))
            (/ (n i) (+ (d i) (g (+ i 1) k)))
        )
    )

    (g 1 k)
)

(cont-frac (lambda (i) 1.0)
            d
            1)

$$f(1) = \frac{1}{1} = 1$$

$$f(2) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$$

(cont-frac (lambda (i) 1.0)
            d
            2)

$$f(3) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2+\frac{1}{1}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}$$

(cont-frac (lambda (i) 1.0)
            d
            3)

$$令 g(k, k) = \frac{N_k}{D_k}$$ $$g(i, k) = \frac{N_i}{D_i + g(i+1, k)}$$ $$f(k) = \frac{N_1}{D_1 + \frac{N_2}{\ddots + \frac{N_k}{D_k}}} = \frac{N_1}{D_1 + \frac{N_2}{\ddots + g(k, k)}} = \frac{N_1}{D_1 + g(2, k)} = g(1, k)$$ e =

(+ 2 (cont-frac (lambda (i) 1.0)
            d
            50))